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Infinitésimal

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depuis dX est infiniment petit.

Cet argument, bien qu'intuitivement attrayant et produisant le résultat correct, n'est pas mathématiquement rigoureux. L'usage des infinitésimaux a été attaqué comme incorrect par l'évêque Berkeley dans son travail L'analyste.2 Le problème fondamental est que dX est d'abord traité comme non nul (parce que nous le divisons), mais ensuite rejeté comme s'il était nul.

Lorsque nous considérons les nombres, la définition naïve est clairement erronée: un infinitésimal est un nombre dont le module est inférieur à tout nombre positif non nul. En considérant les nombres positifs, la seule façon pour un nombre d'être inférieur à tous les nombres serait d'être le nombre le moins positif. Si h est un tel nombre, alors qu'est-ce h/ 2? Ou si h est indivisible, est-ce encore un nombre? Aussi, intuitivement, il faudrait que l'inverse d'un infinitésimal soit infiniment grand (en module) ou illimité. Cette étape devrait donner le "plus grand" nombre, mais il n'y a clairement pas de "dernier" plus grand nombre.

Ce n'est que dans la seconde moitié du XIXe siècle que Karl Weierstrass et d'autres ont donné au calcul un fondement mathématique formel en utilisant la notion de limite. Au XXe siècle, il a été constaté que les infinitésimaux pouvaient, après tout, être traités avec rigueur. Aucune des deux formules n'est fausse et les deux donnent les mêmes résultats si elles sont utilisées correctement.

Utilisations modernes des infinitésimaux

L'infinitésimal est nécessairement un concept relatif. Si epsilon est infinitésimal par rapport à une classe de nombres, cela signifie que epsilon ne peut pas appartenir à cette classe. C'est le point crucial: infinitésimal doit nécessairement signifier infinitésimal par rapport à un autre type de nombres.

Le chemin de la formalisation

Prouver ou infirmer l'existence d'infinitésimaux du type utilisé dans l'analyse non standard dépend du modèle et de la collection d'axiomes utilisés. Nous considérons ici des systèmes où il peut être démontré que des infinitésimales existent.

En 1936, Maltsev a prouvé le théorème de compacité. Ce théorème est fondamental pour l'existence des infinitésimaux car il prouve qu'il est possible de les formaliser. Une conséquence de ce théorème est que s'il existe un système numérique dans lequel il est vrai que pour tout entier positif n il y a un nombre positif X tel que 0 <x <1 / n, alors il existe une extension de ce système numérique dans lequel il est vrai qu'il existe un nombre positif X de telle sorte que pour tout entier positif n nous avons 0 < X < 1/n. La possibilité de commuter «pour tout» et «il existe» est cruciale. La première affirmation est vraie dans les nombres réels tels que donnés dans la théorie des ensembles ZFC: pour tout entier positif n il est possible de trouver un nombre réel entre 1 / n et zéro, seul ce nombre réel dépendra de n. Ici, on choisit n d'abord, puis on trouve le correspondant X. Dans la deuxième expression, la déclaration dit qu'il y a un «x» (au moins un), choisi en premier, qui se situe entre 0 et 1 / n pour toute n. Dans ce cas X est infinitésimal. Ce n'est pas vrai dans les nombres réels (R) donnée par ZFC. Néanmoins, le théorème prouve qu'il existe un modèle (un système numérique) dans lequel cela sera vrai. La question est: quel est ce modèle? Quelles sont ses propriétés? Existe-t-il un seul modèle de ce type?

Il existe en fait de nombreuses façons de construire un tel ensemble de nombres unidimensionnellement ordonnés linéairement, mais fondamentalement, il existe deux approches différentes:

1) Étendre le système numérique pour qu'il contienne plus de nombres que les nombres réels.2) Étendre les axiomes (ou étendre le langage) afin que la distinction entre les infinitésimaux et les non infinitésimaux puisse être faite dans les nombres réels.

En 1960, Abraham Robinson a fourni une réponse suivant la première approche. L'ensemble étendu est appelé hyperréalités et contient moins de nombres en valeur absolue que n'importe quel nombre réel positif. La méthode peut être considérée comme relativement complexe, mais elle prouve qu'il existe des infinitésimaux dans l'univers de la théorie des ensembles ZFC. Les nombres réels sont appelés nombres standard et les nouveaux hyperréels non réels sont appelés non standard.

En 1977, Edward Nelson a fourni une réponse suivant la deuxième approche. Les axiomes étendus sont IST, qui signifie soit Internal Set Theory, soit les initiales des trois axiomes supplémentaires: idéalisation, standardisation, transfert. Dans ce système, nous considérons que le langage est étendu de telle manière que nous pouvons exprimer des faits sur les infinitésimaux. Les nombres réels sont standard ou non standard. Un infinitésimal est un nombre réel non standard qui est inférieur, en valeur absolue, à tout nombre réel standard positif.

En 2006, Karel Hrbacek a développé une extension de l'approche de Nelson dans laquelle les nombres réels sont stratifiés à (infiniment) de nombreux niveaux, c'est-à-dire qu'au niveau le plus grossier, il n'y a pas d'infinitésimales ni de nombres illimités. Les infinitésimaux sont à un niveau plus fin et il y a aussi des infinitésimaux par rapport à ce nouveau niveau et ainsi de suite.

Toutes ces approches sont mathématiquement rigoureuses.

Cela permet une définition des infinitésimaux qui se réfère à ces approches:

Une définition

Un nombre infinitésimal est un nombre non standard dont le module est inférieur à tout nombre standard positif non nul.

Les références standard et non standard dépendent du contexte choisi.

Alternativement, nous pouvons avoir une géométrie différentielle synthétique ou une analyse infinitésimale fluide avec ses racines dans la théorie des catégories. Cette approche s'écarte radicalement de la logique classique utilisée dans les mathématiques conventionnelles en niant la loi du milieu exclu, c'est-à-dire. ne pas (uneb) ne doit pas signifier une = b. UNE nilsquare ou nilpotent infinitésimal peut alors être défini. Ceci est un nombre XX2 = 0 est vrai, mais X = 0 n'a pas besoin d'être vrai en même temps. Avec un infinitésimal comme celui-ci, les preuves algébriques utilisant des infinitésimales sont assez rigoureuses, y compris celle donnée ci-dessus.

Voir également

  • Infini
  • Nombre

Remarques

  1. ↑ Archimède, La méthode des théorèmes mécaniques. voir le palimpseste d'Archimède.
  2. ↑ George Berkeley, L'analyste; ou un discours adressé à un mathématicien infidèle.

Les références

  • Goldblatt, Robert. 1998. Conférences sur les hyperréalistes Springer. Récupéré le 5 décembre 2007.
  • Keisler, J. 2000. Calcul élémentaire Université du Wisconsin. Récupéré le 5 décembre 2007.
  • Stroyan, K. 1993. Fondements du calcul infinitésimal Université de l'Iowa. Récupéré le 5 décembre 2007.
  • Méthodes et applications non standard en mathématiques Notes de cours dans Logic 25, Association for Symbolic Logic. Récupéré le 5 décembre 2007.
  • La force de l'analyse non standard Springer. Récupéré le 5 décembre 2007.

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